有向网络的无几何重正化：标度不变性与互惠性

最近的研究试图将为几何对象自然定义的重正化概念扩展到具有任意拓扑的更一般网络。目前的尝试不能自然地应用于有向网络，例如因为它们基于源自几何嵌入的（必然对称的）节点间距离的识别，或者基于谱方法中要求对称邻接矩阵的 Hermitian Laplacian 算符的定义。在此，我们展示了最近提出的作为在任意（且可能是多尺度）分辨率水平上一致建模无向网络方法的标度不变模型 (Scale-Invariant Model)，可以在不需要嵌入几何或 Laplacian 结构的情况下连贯地扩展到有向网络。此外，它可以解释非平凡的互惠性，即经验上充分记录的链接成对出现的频率高于或低于随机预测的趋势。在推导出具有任意互惠性的网络的重正化规则后，我们考虑了各种示例。特别是，我们提出了第一个具有非平凡互惠性的国际贸易网络的多尺度模型，以及一个退火模型，其中正互惠性从粗粒化中自发涌现。在后一种情况下，重正化过程定义了一个群而不仅仅是半群，因此允许将网络细粒化到任意小的尺度。这些结果加强了这样一种观点，即网络重正化可以以比几何或谱方法所要求的更通用的方式定义，因为它只需要特定于节点的（无度规）特征，并且可以与有向网络的不对称性共存。