量子欧氏空间的几何工具

我们将非交换几何的一种形式体系应用于 $R^N_q$，即在量子群 $SO_q(N)$ 下协变的量子空间。在 $R^N_q$ 上有两个 $SO_q(N)$-协变微分演算。对每一个，我们找到一个标架、一个度量以及两个无挠协变导数，它们在共形因子意义下与度量相容，且线性曲率为零。这推广了先前文章中 $R^3_q$ 情形的结果。如同 N=3 的情形，须将代数 $R^N_q$ 稍作扩大；N 为奇数时只需一个新生成元，而 N 为偶数时需要两个。如同 N=3 的特殊情形，在 $R^N_q$ 上微分演算的自然度量存在共形歧义。在我们先前的文章中标架是“手工”找到的，而这里我们揭示了量子群协变性的关键作用并在构造中加以利用。作为中间步骤，我们找到从 $R^N_q$ 与 $U_qso(N)$ 的交叉积到 $R^N_q$ 的同态，这本身也是一个有趣的结果。