测地最优传输回归
统计方法学
2023-12-27 v1
摘要
经典回归模型无法涵盖驻留在一般度量空间中的非欧几里得数据，而当前关于非欧几里得回归的文献主要集中在预测变量或响应变量之一是随机对象（即非欧几里得），但并非两者皆是的情形。在本文中，我们针对预测变量和响应变量均位于公共测地度量空间中，且预测变量不仅包含一个而且可能包含多个随机对象的情形，提出了测地最优传输回归模型。这将经典多元回归扩展到了预测变量和响应变量均驻留在非欧几里得度量空间的情形，这是一种此前尚未被考虑过的场景。该模型基于最优测地传输的概念，我们将此定义为分布空间中最优传输概念向更一般测地度量空间的扩展，其中我们将最优传输表征为沿测地线的传输。所提出的回归模型涵盖了许多具有实际统计意义的空间中非欧几里得响应变量与非欧几里得预测变量向量之间的关系。这些空间包括被视为 2-Wasserstein 空间元素的一维分布，以及具有 Fisher-Rao 度量并表示为希尔伯特球面上数据的多维分布。还包括有限维黎曼流形上的数据，重点在于球面，涵盖方向数据和成分数据，以及由对称正定矩阵组成的数据。我们通过夏季温度分布数据和人类死亡率数据说明了测地最优传输回归的实用性。
引用
@article{arxiv.2312.15376,
title = {Geodesic Optimal Transport Regression},
author = {Changbo Zhu and Hans-Georg Müller},
journal= {arXiv preprint arXiv:2312.15376},
year = {2023}
}