基于功能经验过程与残差功能经验过程统计指标的通用渐近表示及其应用

本文旨在建立一种针对广泛统计量的通用渐近表示(GAR)，其中采用两种基本过程：功能经验过程(fep)和由 Lo 和 Sall (2010a, 2010b) 引入的残差功能经验过程(lrfep)。功能经验过程(fep)定义如下：$$\mathbb{G}_n(h)=\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{j=1}^{n} \{h(X_j)-\mathbb{E}h(X_j)\},$$ [其中 $X$, $X_1$, $\cdots$, $X_n$ 来自大小为 $(n+1)$ 的随机 $d$ 向量 $X$ 的样本，其中 $n\geq 1$，且 $h$ 是定义在 $\mathbb{R}^d$ 上的可测函数，满足 $\mathbb{E}h(X)^2<+\infty$。它是一种强大的工具，用于推导渐近分布。此前较简单版本的论文专注于将(fep)应用于可以转化为经验函数形式渐近代数表达式的统计量 $J_n$，即 $$J_n=\mathbb{E}h(X) + n^{-1/2} \mathbb{G}_n(h) + o_{\mathbb{P}}(n^{-1/2}). \ \ \ \textit{SGAR}$$ 然而，并非所有统计量都符合此形式，特别是福利指标。在许多情景下，涉及顺序统计量 $X_{1,n}\leq$, $\cdots$, $\leq X_{n,n}$，导致 $L$ -statistic。在此情况下，(fep)仍可用于，但需结合由 Lo 和 Sall (2010a, 2010b) 引入的相关残差功能经验过程。这一组合导致针对广泛统计指标的通用渐近表示(GAR) $$J_n=\mathbb{E}h(X) + n^{-1/2} \biggr(\mathbb{G}_n(h) + \int_{0}^{1} \mathbb{G}_n(\tilde{f}_s) \ell(s) \ ds + o_{\mathbb{P}}(1)\biggr), \ \ \textit{FGAR}$$