Hodge 零模态在参数依赖拓扑数据分析中的规范几何

我们提出一种用于检测参数依赖拓扑数据结构变化的实用计算框架。在许多应用中，如时间序列分析、异常检测和受控参数变化的系统监控中，持久图描述了在每个参数值下拓扑特征的诞生与死亡，但未能完全捕捉这些特征随时间的重组方式。为此，我们将同调特征表示为普通组合 Hodd 拉普拉斯的零模态，并在共同的环境链空间中跟踪相应的特征空间。这使我们能够计算曲率和引力作为描述局部重组和累积记忆的特征。曲率揭示了同调特征混合或快速变化的参数区域，而引力总结了此类变化在闭合循环后的净效果。我们还建立了稳定性估计，表明这些特征在规范 Hodd 拉普拉斯的正则区域上的扰动下具有鲁棒性。在受控的时间依赖点云数据上的数值实验表明，所提方法能够检测跟踪不稳定性、区分 nearly identical 持久图的数据集，并捕捉到点对点特征匹配不可见的循环级记忆。这些结果表明，零模态传输几何可作为分析动态拓扑数据的有用计算工具。