Gaudin 函数与 Euler-Poincaré 特征

给定两个正整数 $n,r$，我们将 $r$ 级 Gaudin 函数定义为行列式 $\det(1/ ((x_i-y_j)(x_i-ty_j) \dots (x_i-t^r y_j)))$（其中 $i,j=1..n$）的分子除以关于 $x$ 和 $y$ 的两个 Vandermonde 行列式所得的商。我们证明，通过将 $x$ 变量特化为 $y$ 变量并乘以 $t$ 的幂次，可以对该函数进行刻画。这使得我们能够将获得自 Korepin 和 Izergin 的 1 级 Gaudin 函数表示为旗流形在 Euler-Poincaré 特征下的结式像。作为推论，我们恢复了 Warnaar 关于 Macdonald 多项式生成函数的结果。