基于门的 BRGC 编码拉普拉斯算符实现用于通用量子计算机

我们研究在具有周期边界条件的格点上离散的拉普拉斯算符所对应的二进制反射格雷码（BRGC）与二进制编码的酉时间演化算符的基于门的实现。我们通过 Baker-Campbell-Hausdorff 公式发现，对于固定格点间距，所得 Trotter 误差与系统大小无关。随后我们给出构建 BRGC 量子线路的算法。对于该线路绝热演化时间 $t$ 与谱范数误差 $\epsilon$，我们发现所需线路代价（门数）与深度为 $\mc{O}(t^2 n A D /\epsilon)$，使用 $n-3$ 个辅助量子比特，对应每维 $2^n$ 个格点、维度 $D$ 与粒子数 $A$ 的系统；相较之下二进制位置编码需要指数数量的 $n$-局域算符。进一步，在合理假设 $[T,V]$ 界定 $\Delta t$（其中 $T$ 为动能、$V$ 为非平凡势）下，拉普拉斯算符的 QFT（Quantum Fourier Transform，量子傅里叶变换）实现代价随 $\mc{O}\left(n^2\right)$ 缩放、深度为 $\mc{O}\left(n\right)$，而 BRGC 随 $\mc{O}\left(n\right)$ 缩放，使 BRGC 实现具有优势。