模糊标量场论：数值与解析研究

本论文致力于研究模糊空间上的量子场论（QFT）。模糊空间是通过有限矩阵代数对连续空间函数代数的近似。在矩阵无限大的极限下，该表述是精确的。该方法的一个诱人之处在于它清晰地展示了连续空间的几何性质是如何被保留的。在研究 QFT 的非微扰区域时，模糊空间提供了作为正则化方法的格点的一种可能替代方案。论文分为两部分。我们在三维欧几里得空间上对 $\lambda \phi^4$ 理论进行了蒙特卡洛模拟。我们确定了该模型的相图。除了通常的无序相和均匀有序相外，我们还发现了第三种非均匀有序相。这表明在强耦合区域存在所谓的紫外 - 红外混合现象。其次，我们提出了四维模糊球面 $S^4_F$ 上标量场论的几何分析。尽管无法通过对经典空间量子化来实现 $S^4$ 的模糊版本，但通过在更大的六维空间 $CP^3$ 上定义标量理论规避了这一问题。该空间包含了与 $S^4$ 相关的自由度以及其他超出 $S^4$ 的自由度。这些额外的自由度通过概率方法被动力学抑制。对几何结构的分析使我们能够将此过程解释为从 $CP^3$ 到 $S^4$ 的卡拉比 - 克莱因（Kaluza-Klein）约化。