已知矩阵乘法方法的进一步局限性

我们考察当前最优矩阵乘法算法背后的技术。我们的结果有三方面。（1）我们提供了一个统一框架，表明自 1986 年以来所有已知的矩阵乘法运行时间均可由一个单一非常自然的张量——整数 $q$ 模加法的结构张量 $T_q$ 实现。（2）我们表明，若将已知技术的推广（对任意张量幂进行任意置零以获得独立矩阵乘积，从而使用 Schönhage 的渐近和不等式）应用于 $T_q$ 的任意单项退化，则对所能达到的矩阵乘法指数 $\omega$ 的界存在一个依赖于 $q$ 的显式下界。我们还给出了所能达到的值 $\alpha$ 的上界，其中 $\alpha$ 满足 $n\times n^\alpha \times n$ 矩阵乘法可在 $n^{2+o(1)}$ 时间内计算。（3）我们表明，我们对 $\omega$ 的下界随 $q$ 趋于无穷而逼近 $2$。这暗示了一种改进 $\omega$ 界的有前景途径：对变量 $q$，寻找 $T_q$ 的一个单项退化，其利用已知技术产生关于 $q$ 的 $\omega$ 上界函数，然后令 $q$ 趋于无穷。未被排除且因此可能的是，以此方式可获得 $\omega=2$。