数域上的 Furstenberg–Sárközy 定理

我们引入了系数取自数域 $K$ 的整数环 $\mathscr{O}_K$ 的交错多项式的概念，并定义了 $\mathscr{O}_K$ 子集的上密度的概念。我们证明，给定 $\mathscr{O}_K$ 上的任意交错多项式 $p(x)$，$\mathscr{O}_K$ 的每个具有正上密度的子集 $A$ 都包含两个不同的元素，其差等于某个 $x \in \mathscr{O}_K$ 对应的 $p(x)$。此外，我们得到了该结果的定量版本。证明的动机源于 Lucier 的一个论证，以及 Green、Tao 和 Ziegler 对整数上 Furstenberg–Sárközy 定理的无 Fourier 分析证明。