在 Fp 无限多个扩张上为 PN 的函数，p 为奇数

设 $p$ 为奇素数。我们证明，对于 $m\equiv1\mod p$，$x^m$ 在无限多个 $\mathbb{F}_{p^n}$ 上是完全非线性的，当且仅当 $m$ 具有形式 $p^l+1$，$l\in\mathbb{N}$。首先，我们研究 $f(x,y)=\frac{(x+1)^m-x^m-(y+1)^m+y^m}{x-y}$ 的奇点，并利用 Bezout 定理证明，对于 $m\neq 1+p^l$，$f(x,y)$ 有一个绝对不可约因子。然后由 Weil 定理，$f(x,y)$ 有满足 $x\neq y$ 的有理点，这意味着 $x^m$ 不是 PN 的。