有限域上广义分圆映射的函数图

函数 $g:X\rightarrow X$ 的函数图是以 $X$ 为顶点集、边形如 $x\rightarrow g(x)$($x\in X$)的有向图。函数图被大量研究，因为它们使人理解 $g$ 在迭代下的行为(即理解离散动力系统 $(X,g)$)，这在 $X$ 为有限域 $\mathbb{F}_q$ 时尤具各类应用。本文对 $\mathbb{F}_q$ 上所谓指标 $d$ 广义分圆映射的函数图进行了广泛研究，这类映射是单项函数的自然且易处理的推广。我们给出了关于其函数图结构的理论结果，以及求解基本问题的 Las Vegas 算法，例如用代表顶点参数化函数图的连通分支，或描述由代表顶点给出的连通分支的结构。我们详细分析了这些算法的复杂度，并指出对于固定指标 $d$ 和绝大多数素数幂 $q$(在渐近密度意义下)，这些算法的合适实现在量子计算机上的期望运行时间为 $\log{q}$ 的多项式，而在经典计算机上的期望运行时间为 $\log{q}$ 的次指数。我们还讨论了四种特殊情况，可在绝大多数有限域上设计具有此类复杂度行为的 Las Vegas 算法，以求解广义分圆映射函数图的图同构问题。