从高维稀疏到稠密函数型数据：从非渐近视角重访相变

均值与协方差函数的非参数估计在函数型数据分析中无处不在，局部线性平滑技术最为常用。Zhang 与 Wang（2016）探讨了该估计的不同渐近性质，基于每个个体平均采样频率 $T$ 与个体数 $n$ 的相对阶揭示了有趣的相变现象，将数据划分为三类：“稀疏”、“半稠密”与“超稠密”。在日益可得的高维情形下，函数型变量数 $p$ 相对于 $n$ 较大，我们通过推导局部线性平滑子的全面集中不等式，从非渐近视角重访这一开放问题。除其自身意义外，我们的非渐近结果给出了 $L_2$ 收敛与一致收敛的逐元素最大速率，当 $p$ 随 $n$ 且可能随 $T$ 指数增长时，其作为进一步收敛分析的基础性重要工具。在引入额外的 $\log p$ 项以刻画高维效应后，我们进而研究了高维下从稀疏到半稠密再到超稠密函数型数据的尺度化相变及相应逐元素最大速率。我们还讨论了理论结果的若干应用。最后，数值实验证实了所建立的理论性质。