从参考系相对论到数学模型的相对论：多种非阿基米德框架中的相对论公式

伽利略相对论以及爱因斯坦的狭义和广义相对论表明，物理定律比其在任何给定参考系中的表示更为深刻。因此，协变性，即物理定律相对于参考系变化的独立性，成为一项基本原理。迄今为止，所有这些都仅在一个单一数学模型中表达，即建立在实数域 $\mathbb{R}$ 的通常连续统之上的传统模型，因为复数、有限维欧几里得空间或无限维希尔伯特空间等都是建立在实数之上的。在此，遵循文献[55]，我们给出了一个例子，说明如何超越这种情况，并研究当在自然构造的无限大标量代数中对物理定律进行建模时，什么保持不变，什么发生变化。具体而言，我们表明，狭义相对论速度加法可以自然地在无限多个降幂代数中的任何一个中考虑，其中每个代数都包含通常的实数域，且与后者不同的是，它们是非阿基米德的。非标准实数只是这种降幂代数的一种情况，同样也是非阿基米德的。对狭义相对论速度加法的这种研究有两个令人惊讶和奇怪的效果：一是可以轻易超越光速，二是相当对偶地，人们也可以轻易地以零速度冻结在静止状态。这两种情况以及许多其他情况，与实数中的通常情况一样自然可用。