从网格到神经网络：物理信息神经网络与 Galerkin 有限元方法求解非线性对流-反应-扩散方程的多方法评估

非线性对流-反应-扩散 (CRD) 偏微分方程 (PDE) 对于建模生物学、生态学、种群动力学、物理学和工程学等领域的复杂现象至关重要。由于获得精确解的困难，这些非线性系统的数值近似必不可少。传统上，Galerkin 有限元方法 (GFEM) 一直是求解这些 PDE 的标准计算工具。随着机器学习的进步，物理信息神经网络 (PINN) 作为近似非线性 PDE 的有前途的替代方案出现。在本研究中，我们通过求解四个具有不同初始和边界条件的一维 CRD 问题，比较 PINN 和 GFEM 的性能，并评估 PINN 相对于 GFEM 的表现。评估指标包括误差估计、解的可视化表示，并由均方根误差 (RMSE)、误差标准差、Wilcoxon 符号秩检验和变异系数 (CV) 检验等统计方法支持。我们的发现表明，虽然两种方法都能获得接近解析解的结果，但 PINN 表现出更高的精度和效率。对于 Burgers 方程、Fisher 方程和 Newell-Whitehead-Segel 方程，PINN 实现了显著更低的 RMSE 值和更小的标准差，表明更高的精度和更大的一致性。虽然 GFEM 对 Burgers-Huxley 方程显示出略好的精度，但其随时间表现不够一致。相比之下，PINN 展现出更可靠和稳健的性能，凸显了其作为求解非线性 PDE 的前沿方法的潜力。