扭转双层光学晶格中的分形能谱

当晶格受到垂直磁场作用时，其平移对称性会发生极大改变 [Zak, Phys. Rev. \textbf{134}, A1602 (1964)]。这种对称性的变化会导致磁晶胞比原晶胞大得多。类似地，当两个单层晶格相对扭转一个小角度时，双层晶格的平移特性会发生剧烈变化，从而产生大尺度的 moir\'{e} 晶胞。受此相似性启发，我们计算了扭转双层光学晶格的完整能带结构，并表明几何 moir\'{e} 效应可以诱导出分形能带结构。该分形由两个单层之间的扭转角控制，并与磁场中二维 Bloch 电子著名的蝴蝶能谱密切相关 [Hofstadter, Phys. Rev. B \textbf{14}, 2239 (1976)]。我们通过证明扭转双层光学晶格可以映射到具有长程跃迁的广义 Hofstadter 模型来展示这一点。此外，我们提供了该能谱无限递归结构的数值证据，并给出了计算这些结构的算法。