基于松弛的 Hausdorff 度量下 Fréchet 均值集估计

本工作解决了非欧统计中的以下问题：当给定独立同分布样本时，是否可能一致地估计未知总体分布在 Hausdorff 度量下的 Fréchet 均值集？我们基于对“松弛经验 Fréchet 均值集估计量”的细致分析给出肯定回答，该类估计量识别经验 Fréchet 泛函的近极小化元集合，且“松弛”量随数据量趋于无穷而消失。在理论方面，我们的结果精确描述了哪些松弛速率给出弱一致性、哪些给出强一致性，并描述了一种估计量（仅假设某些矩的有限性以及底层度量空间度量熵的温和条件）可自适应地找到强一致估计的最快可能松弛速率。在应用方面，我们考虑在赋予热带射影度量的等距树空间中估计未知分布的 Fermat-Weber 点集问题；在此设定下，我们提供了一种可证明实现自适应估计量的算法，并将该方法应用于真实系统发育数据。