金融中转移密度的傅里叶神经网络逼近

本文介绍了 FourNet，一种新颖的单层前馈神经网络（FFNN）方法，旨在逼近那些其傅里叶变换（即特征函数）具有闭式表达的转移密度。FourNet 的独特之处在于其使用高斯激活函数，能够实现精确的傅里叶与逆傅里叶变换，并与高斯混合模型形成类比。我们从数学上确立了 FourNet 能够以有限数量的神经元在 $L_2$ 意义下任意好地逼近转移密度。FourNet 的参数通过最小化由已知特征函数和 FFNN 的傅里叶变换导出的损失函数来学习，并辅以策略性采样方法以增强训练。我们推导了 FourNet 在 $d$ 维（$d\ge 1$）下的 $L_2$ 估计误差和潜在的非负性逐点损失的实用界，突出了其在实际环境中的鲁棒性与适用性。FourNet 的准确性和多功能性通过量化金融中常见的一系列动态得以展示，包括 Lévy 过程和 Heston 随机波动率模型——包括那些由自激 Queue-Hawkes 跳跃过程增强的模型。