稀疏相互作用图上二体配分函数的森林展开

我们通过 Brydges-Kennedy-Abdessalam-Rivasseau 森林展开，研究稀疏图与含环图上经典二体配分函数的树近似。我们证明，对于稀疏图（具有大环），在某一温度 $T^*$ 之上的配分函数可由相互作用图的森林上的图多项式展开来逼近。在此“森林相”内，我们证明该近似可写为相互作用图上参考树 $\mathcal T$ 加上由环引起的修正项。从这一视角看，这意味着高温模型在稀疏图上易于求解，因为可利用置信传播计算配分函数。我们还证明存在高温与低温两种 regime，其中 $\mathcal T$ 可通过给定加权图上的最大生成树算法获得。我们研究了这些修正的代数结构，给出了树 Ansatz 的一阶与二阶近似，并给出了首阶近似的显式例子。