随机 3-SAT 问题的聚焦局部搜索

求解 NP 完全优化问题的局部搜索算法可以被视为在“能量景观”中移动，最终找到最优解的随机过程。对于随机 3-可满足性问题，将局部移动聚焦于当前未满足子句的启发式方法已被证明非常有效：在给定子句与变量比率 $\alpha$ 充分低于临界可满足性阈值 $\alpha_c \approx 4.27$ 时，观察到求解时间仅随变量数线性增长。我们给出了针对该问题的三种聚焦局部搜索算法行为的数值结果，特别考虑了简单 Metropolis 动力学的聚焦变体特征。我们估计了该算法“温度”参数 $\eta$ 的最优值，使其线性时间机制尽可能接近 $\alpha_c$。对著名的 WalkSAT 算法以及研究较少但性能优异的 Focused Record-to-Record Travel 方法也进行了类似的参数优化。我们观察到，通过适当选择参数，这些算法中每一个的线性时间机制似乎都能很好地延伸至 $\alpha > 4.2$ 的比率——远超迄今为止普遍认为的范围。我们讨论了这些算法求解时间的统计特性，将其性能与“白化”过程联系起来，并对其计算相图的形状提出了一些猜想。