寻找拟阵、超图等的分支分解

给定固定有限域 $\mathbb F$ 上有限维向量空间的 $n$ 个子空间,我们希望找到这些子空间宽度至多为 $k$ 的“分支分解”,即一棵亚三次树 $T$,其 $n$ 片叶子与子空间双射对应,使得对 $T$ 的每条边 $e$,$T-e$ 一个分支中叶子关联子空间之和与另一分支中叶子关联子空间之和的交的维数至多为 $k$。该问题包含计算 $\mathbb F$ 表示拟阵的分支宽度、图的秩宽度、超图的分支宽度以及图的雕刻宽度等问题。我们提出一个固定参数算法,为 $\mathbb F$ 上有限维向量空间的输入子空间构造此类宽度至多为 $k$ 的分支分解(若存在)。我们的算法类似于 Bodlaender 与 Kloks(1996)关于图树宽的算法。为将其框架扩展至向量空间的分支分解,我们开发了高度通用的向量空间分支分解工具。此前唯一的已知固定参数算法来自 Hlin\v{e}n\'y 与 Oum(2008),其时间复杂度为 $O(n^3)$,其中 $n$ 为输入 $\mathbb F$ 表示拟阵的元素数。但他们的方法高度间接:其算法使用了 Geelen 等人(2003)关于禁子式数目有限的非平凡事实,并使用了 Hlin\v{e}n\'y(2006)关于在小分支宽度 $\mathbb F$ 表示拟阵上检验一元二阶公式的算法。我们的结果不依赖此类事实且完全自包含,但对每个固定 $k$ 渐近运行时间与其匹配。