通过自旋矢量的模拟退火寻找 Hadamard 矩阵

将组合问题重新表述为统计力学系统的优化问题，使得可以利用源自物理过程的启发式方法（如模拟退火（SA））来寻找更好的解。本文提出了一种基于 Ising 模型上 SA 的 Hadamard 矩阵（H 矩阵）搜索方法。根据等价性，H 矩阵可以转化为 SH（半归一化 Hadamard）矩阵；其首列为全 1 向量，其余各列为含有相等数量 -1 和 +1 的向量，称为 SH 向量。我们定义 SH 自旋矢量来表示 SH 向量，其扮演类似于 Ising 模型中自旋的角色。晶格的拓扑被推广为一个图，其边表示 SH 自旋矢量之间的正交关系。从一个随机生成的准 H 矩阵 Q（即类似于 SH 矩阵但不施加正交性约束的矩阵）出发，我们执行 SA。Q 的跃迁通过在 SH 自旋矢量内随机交换 {+,-} 自旋对来实现，该过程遵循 Metropolis 更新规则。在向零能量跃迁的过程中，Q 矩阵沿着 Markov 链演化直至成为正交矩阵，此时即称为找到了 H 矩阵。我们展示了所提方法寻找某些低阶 H 矩阵的能力，包括那些无法通过 Sylvester 方法简单构造的矩阵。