由矩阵非刚性得到的更快 Walsh-Hadamard 与离散傅里叶变换

我们给出了在 $N$ 为 2 的幂大小的输入上，Walsh-Hadamard 变换（WHT）与离散傅里叶变换（DFT）的具有更低算术操作数的算法。对于 WHT，我们的新算法操作数为 $\frac{23}{24}N \log N + O(N)$。据我们所知，这首次改进了简单、经典的快速 Walsh-Hadamard 变换算法的 $N \log N$ 操作数。对于 DFT，我们的新 FFT 算法使用 $\frac{15}{4}N \log N + O(N)$ 次实数算术运算。我们的前导常数 $\frac{15}{4} = 3.75$ 改进了 1965 年 Cooley-Tukey 算法的前导常数 $5$、1968 年 Yavne 分裂基算法的前导常数 $4$、2004 年 Van Buskirk 对分裂基算法修改后的前导常数 $\frac{34}{9}=3.777\ldots$，以及 2017 年 Sergeev 对 Van Buskirk 算法理论优化版本的前导常数 $3.76875$。我们的新 WHT 算法利用了近期关于 WHT 非刚性的一系列工作：我们将 WHT 矩阵分解为低秩矩阵与稀疏矩阵之和，然后分析这些矩阵的结构以达成更低操作数。我们的新 DFT 算法来自一种新颖归约，表明先前最佳 FFT 算法的部分可被对 WHT 算法的调用所替代。用我们的改进新算法替代经典 WHT 算法即得到改进的 FFT。