小空间下的快速最长公共扩展

本文研究最长公共扩展（LCE）问题：计算 $T\in \Sigma^n$（其中 $\Sigma = \{0, \ldots \sigma-1\}$）的任意两个后缀之间最长公共前缀的长度 $\ell$。我们提出了两种基于（Karp-Rabin）指纹和采样的快速且节省空间的解决方案。我们的第一个数据结构利用了当用作Karp-Rabin哈希函数模数时的梅森素数性质，占用 $n\lceil \log_2\sigma\rceil$ 位空间。第二个结构适用于任意素数模数，占用 $n\lceil \log_2\sigma\rceil + n/w + w\log_2 n$ 位空间（$w$ 为内存字大小）。两种结构都支持 $\mathcal O\left(m\log\sigma/w \right)$ 时间提取任意长度为 $m$ 的文本子串、高概率下 $\mathcal O(\log\ell)$ 时间的LCE查询，并且可以在最优的 $\mathcal O(n)$ 时间内构建。在第一种情况下，我们的结果是首个表明在仅使用存储文本所需空间之上 $\mathcal O(1)$ 个字的条件下，能够以 $o(n)$ 时间回答LCE查询。我们的结果在空间占用、查询时间和预处理时间上改进了现有最优水平，并且非常实用：我们给出了一个在实践中非常快速且节省空间的C++实现。