在 $\mathbb{R}_+$ 上与 $(\times, \max)$ 同构的半环上的快速计算

多个学科中的重要问题涉及半环 $(\times, \max)$（或其等价形式：取负版本 $(\times, \min)$、对数变换版本 $(+, \max)$ 或取负对数变换版本 $(+, \min)$）上的计算：最大卷积、带权图中的全点对最短路径，以及为两个列表 $x$ 和 $y$ 寻找 $x_i+y_j$ 中最大的 $k$ 个值。然而，诸如实现 FFT 卷积、次立方矩阵乘法等快速算法需要逆运算，因此无法在半环上计算。本文推广了关于最大卷积的近期进展：该方法利用一族小型的 $p$-范数环来高效近似非负半环上的结果。这一通用方法可用于轻松计算具有非负边权图中全点对最短路径的次立方估计，以及当 $x$ 和 $y$ 非负时 $x_i+y_j$ 中前 $k$ 大值的次二次估计。这些方法在实践中速度快，并且可从粗粒度并行化中获益。