半模上的扩值拓扑与反拓扑函数

在之前的论文中，我们研究了拓扑函数 $f:X\to K$ 及相关函数类，其中 $X$ 是幂等 $b$-完备半域 $K$ 上的 $b$-完备半模。在不失一般性的前提下，我们假设 $K$ 没有最大元 $\sup K$，因此对于 $x \in X$ 和 $y=\inf X$，残差 $x/y$ 未定义。现在我们在 $K$ 中加入一个外部“最大元” $\top = \sup K$，并以适当方式将乘法和加法运算从 $K$ 扩展到 $\bar K$（即 $K$ 与 $\top$ 的并集），从而研究“扩值函数”$f:X\to \bar K$。实际上，我们给出了两种不同的从 $K$ 到 $\bar K$ 的乘积扩展方式，以便为任意 $x \in X$ 的残差 $x/\inf X$（特别是 $\inf X/\inf X$）赋予意义，并利用它们通过某些不等式刻画拓扑函数（即递增齐次，由第一种乘积定义）和反拓扑函数（即递减反齐次，由第二种乘积定义）$f:X\to \bar K$。接下来，我们研究函数 $f:X \to \bar K$ 关于耦合函数 $\phi(x,y)=x/y$ ($x,y \in X$) 和 $\psi(x,(y,d)):=\inf \{x/y,d\}$ ($x,y \in X, d \in \bar K$) 的 Fenchel-Moreau 型共轭与双共轭，并获得拓扑与反拓扑函数的刻画。在后续章节中，我们考虑了 $X$ 的子集 $G$ 关于耦合函数 $\phi$ 和 $\psi$ 的极集，以及函数 $f:X\to K$ 关于所有“基本拓扑函数”$\tilde t_{y}(x):=x/y$ ($x \in X, y \in X-\{\inf X\}$) 构成的集合 $\tilde T$ 的支撑集，并探讨了函数 $f:X\to \bar K$ 在点 $x_0 \in X$ 处的两种支撑集概念。