通过量子 Gibbs 状态和 Paul 稀疏性实现结构化 Goemans-Williamson 松弛的指数加速

二次无约束二进制优化（QUBO）问题在各类应用中广泛存在，已知为 NP-hard。Goemans 和 Williamson 提出的半整数规划（SDP）松弛可在多项式时间内求解，给出最优值的上界，并支持具有可证明性能保证的随机化取整技术。在本工作中，我们识别出 QUBO 问题的若干情形，使得矩阵乘性权重方法导致针对 Goemans-Williamson SDP 的量子和量子启发式算法，能够比现有方法快出指数级，实现相对于问题维度的对数多项式时间复杂度。这种加速在 QUBO 成本矩阵可表示为满足某些代数约束的 Paul 字符串线性组合且稀疏的假设下可实现，并利用量子 Gibbs 状态的高效量子和经典仿真结果。我们演示如何高效验证这些条件。此外，我们探讨随机化取整程序的启发式方法，并在对数多项式时间内提取 QUBO 的能量。尽管我们方法擅长的实例在实际中是否具有现实意义尚需进一步确认，但我们提出的启发式算法具有更广泛的适用性，并指出 Kronecker 图是应用本技术的有前景的类别。我们进行数值实验对比评估。值得注意的是，利用张量网络方法，我们在桌面计算机上求解了变量数为 $D = 2^{50}$ 的 SDP，通过本方法提取的可行点在 QUBO 最优解上可证地在 0.15% 以内，达到了比现有 SDP 或 QUBO 求解器（无论是启发式还是严谨）大量倍数的维度。