Goemans–Williamson 算法在带权分数割覆盖问题上的原始对偶推广

我们研究分数割覆盖问题的一种带权推广，并通过反区与规范对偶将其与最大割问题相联系。该关系使我们引入一个半定规划（SDP）松弛，其解可通过随机超平面技术采样而舍入为分数割覆盖。随后我们给出带权分数割覆盖问题的 $1/\alpha_{\scriptscriptstyle \mathrm{GW}}$-近似算法，其中 $\alpha_{\scriptscriptstyle \mathrm{GW}} \approx 0.878$ 是著名的 Goemans–Williamson 最大割算法的近似因子。我们对偶框架中 SDP 的近最优解使得人们可将最大割与分数割覆盖问题的实例视为原始对偶对，其中割与分数割覆盖同时证明彼此的近似质量。我们利用该关系为两个问题引入新的组合证书，以及一种生成此类证书的随机多项式时间算法。特别地，我们展示了 Goemans–Williamson 算法如何隐式近似带权分数割覆盖问题实例，以及我们的新算法如何显式近似带权最大割问题实例。最后我们讨论了图的几何表示在结果中的作用，并证明我们的算法与分析在若干方面是最优的。