有限内存下的探索：抛硬币、噪声比较与多臂老虎机的流式算法

考虑如下抽象抛硬币问题：给定一组具有未知偏置的 $n$ 枚硬币，用最少的抛掷次数找出偏置最大的硬币。这是理论计算机科学与机器学习中各类探索问题的通用抽象，多年来已被广泛研究。特别地，该问题具有最优样本复杂度（抛硬币次数）的算法早已为人所知。受处理海量数据集应用的推动，我们研究在流式模型下以最优抛硬币次数解决该问题的空间复杂度。在此模型中，硬币逐个到达，算法在任何时刻只允许存储有限数量的硬币——任何不在内存中的硬币将丢失，无法再被抛掷或与到达的硬币比较。先前具有最优样本复杂度的抛硬币算法基于迭代淘汰硬币，这本质上要求存储所有硬币，导致内存低效的流式算法。我们通过提出一系列改进的流式算法弥补了这一状况：从一个仅需存储 $O(\log{n})$ 枚硬币的简单算法起步，随后不断精炼，得到具有 $O(\log\log{(n)})$ 内存、$O(\log^*{(n)})$ 内存的算法，最终得到一个仅在内存中多存一枚硬币的算法——与在整个流中仅存储最优硬币所需空间完全相同。此外，我们将算法扩展至寻找 $k$ 枚最偏硬币的问题，以及其它探索问题，如利用噪声比较寻找前 $k$ 个元素或在随机多臂老虎机中寻找 $\epsilon$-最优臂，并为这些问题获得高效的流式算法。