具有不确定性的多补给资源的利用问题

我们考虑一个优化问题，其中一只（单只）蝙蝠旨在利用一组 $n$ 棵仙人掌中的花蜜，目标是最大化其饮用的期望总花蜜量。每棵仙人掌 $i \in [n]$ 由一个参数 $r_{i} > 0$ 刻画，该参数决定了花蜜在 $i$ 中积累的速率。在每一轮中，蝙蝠可以访问一棵仙人掌并喝掉自上次访问以来在那里积累的所有花蜜。此外，与其他也可能访问某些仙人掌并喝掉其花蜜的蝙蝠的竞争，通过一个随机过程建模：在每一轮中，仙人掌 $i$ 以概率 $0 < s_i < 1$（独立地）被清空。我们的注意力限于纯随机策略，这类策略由一个概率向量 $(p_1, \ldots, p_n)$ 刻画，该向量决定了蝙蝠在每一轮访问仙人掌 $i$ 的概率 $p_i$。我们证明，对于任意 $\epsilon > 0$，存在一个纯随机策略，其以不超过 $1 + \epsilon$ 的乘法因子逼近最优纯随机策略，同时仅利用一个小的仙人掌核心。具体而言，我们表明核心中至多包含 $\frac{2 (1 - \sigma)}{\epsilon \cdot \sigma}$ 棵仙人掌就足够了，其中 $\sigma = \min_{i \in [n]} s_{i}$。我们还表明，该核心大小的上界是渐近最优的，因为显著更小的核心无法提供最优纯随机策略的 $(1 + \epsilon)$-逼近。这意味着当竞争更激烈（即 $\sigma$ 更大）时，基于利用更小核心的策略将更有利。