Hermite 多项式所有高阶指数缺项生成函数的显式公式

对多项式序列 $P=(p_n(x))_{n=0}^{\infty}$,我们研究 $K$-重与 $L$-移位指数缺项生成函数 $\mathcal{G}_{K,L}(\lambda;x):=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!} p_{n\cdot K+L}(x)$,其中 $K=1,2\dotsc$ 且 $L=0,1,2\dotsc$。我们建立了一种高效计算一般多项式序列 $P$ 的 $\mathcal{G}_{K,L}(\lambda;x)$ 的算法。该程序通过对 Hermite 多项式的研究得以示例,由此我们获得了任意 $K$ 与 $L$ 下 $\mathcal{G}_{K,L}(\lambda;x)$ 的闭式表达式,其形式为涉及广义超几何函数的无穷级数。我们方法的基石由某些重求和技术辅以算符公式提供。我们的方法也复现了文献中先前已知的所有结果。