周期形变圆电流环磁场的展开公式

推导了一种方法，以获得由载有稳恒电流的闭合平面导线所产生的磁场 $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})$ 的展开公式。环的参数方程为 $\mathcal{R}(\phi)=R+Hf(\phi)$，其中 $R$ 为圆半径，$H \in [0,R)$ 为径向形变幅度，$f(\phi)\in[-1,1]$ 为周期函数。该方法基于将 $1/|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'|^3$ 因子替换为关于Gegenbauer多项式的无穷级数，以及使用Taylor级数。这种方法使得将 $\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r})$ 写成圆环磁场贡献加上 $H/R$ 的幂次和成为可能。由截断的有限展开在导线邻域之外得到了磁场的解析公式。这表明在计算上比数值积分开销更小，在偶极近似不足以恰当描述磁场的区域中尤为如此。文中给出了谐波形变的圆导线所致磁场的示例，获得了精确的展开系数和准确描述。计算了误差估计以识别 $\mathbb{R}^3$ 中解析展开表现良好的区域。最后，研究了针对一般偶形变函数 $f(\phi)$ 的磁场一阶形变公式。关键词：磁场，Gegenbauer多项式，任意电流环，Biot-Savart定律。