通过拓扑度理论证明各向异性 $p(x)$-Laplacian 弱解的存在性

本文考虑涉及各向异性 $p(x)$-Laplacian 的 Dirichlet 边值问题，其中 $p(x)=(p_1(x),\ldots,p_n(x))$，且 $p_i(x)>1$ 在 $\overline{\Omega}$ 上。利用 Berkovits 构造的拓扑度，我们在关于数据的适当假设下证明了给定问题弱解的存在性。一个重要贡献在于我们在讨论中考虑了退化与奇异性情形。最后，根据各向异性 Sobolev 空间的紧嵌入，我们指出所考虑的边值问题在 $\Omega$ 的某些区域可能是临界的。