调和激活与传输中相变的存在性

调和激活与传输（HAT）是一种随机过程，每次一个元素地重排 $\mathbb{Z}^d$ 的有限子集。给定有限集 $U \subset \mathbb{Z}^d$（至少包含两个元素），HAT 依据 $x$ 在 $U$ 中的调和测度从 $U$ 中移除 $x$，然后依据从 $x$ 出发、条件化于命中剩余集合的简单随机游走在首次命中时从 $y$ 走出的概率添加 $y$。特别地，HAT 保持 $U$ 中元素个数不变。我们研究 HAT 随维度 $d$ 和初始集合元素个数 $n$ 变化而被分类为常返或暂态的问题。最近已证明当 $d = 2$ 时，对任意 $n \geq 2$ 个元素，HAT 的平稳分布（在平移等价意义下的集合上）存在。我们证明 HAT 在 $d$ 和 $n$ 上均呈现相变，即当下述条件满足时 HAT 为暂态：当 $d \geq 5$ 且 $n \geq 4$。值得注意的是，暂态仅以唯一一种“方式”发生：集合分裂为两到三个元素的簇，随后稳定生长并无限分离。我们称这些簇为二聚体与三聚体。这一暂态刻画背后的事实是：从任意集合出发，HAT 在仅依赖于 $d$ 和 $n$ 的步数内、且以仅依赖于 $d$ 和 $n$ 的至少某一概率，到达一个仅由二聚体和三聚体构成的集合。