宇宙学模型中半经典爱因斯坦方程解的存在性与唯一性

我们证明了由与标量曲率任意耦合的量子有质量标量场驱动的平坦宇宙学时空中半经典爱因斯坦方程解的存在性与唯一性。在半经典近似中，物质对曲率的反馈通过将爱因斯坦张量等于适当态下应力-能量张量的期望值来计入。我们在有限时刻对尺度因子施加初始条件，并证明可以选择与这些初始条件相容的量子物质的规则态。应力-能量张量的期望值中存在度规系数导数高于二阶的贡献，且最高导数项以非局域形式出现。这一事实妨碍了对半经典方程的直接分析，特别地，用于近似解的标准递归方法无法收敛。本文中我们证明，在宇宙学半经典爱因斯坦方程的部分积分之后，非局域最高导数通过应用一个不依赖于所选态细节的线性无界算子出现在应力-能量张量的期望值中。我们证明可以找到该算子的反演公式，此外，逆算子比正算子更规则且具有推迟乘积的形式，因此因果性得到尊重。将所发现的反演公式应用于迹爱因斯坦方程便具有不动点方程的形式。然后应用 Banach 不动点定理证明半经典爱因斯坦方程解的局部存在性与唯一性。