线性算子联合谱特征的精确计算

我们研究一族线性算子的两个联合谱特征——联合谱半径（简称 JSR）和下谱半径（简称 LSR）的精确计算问题，它们是单个线性算子通常谱半径向算子集合的两种众所周知的推广。本文提出一种方法，在适当假设下，可精确计算有限矩阵族的 JSR 和 LSR。我们注意到，文献中迄今尚无精确计算 LSR 的算法。本文给出了关于线性算子极值范数（及极值反范数）的必要理论结果，它们构成我们算法过程的基本工具，并详细描述了计算 JSR 和 LSR 的相应算法（后者仅限于共享一个不变锥的族）。这些算法易于实现，且描述简洁。若算法在有限时间内终止，则它们构造出一个极值范数（JSR 情形）或反范数（LSR 情形）并求出其精确值；否则，它们提供上下界，且两者均收敛到精确值。文中还导出了有限时间终止的理论判据。数值实验表明，JSR 算法对维数小于 20 的绝大多数矩阵族都能求出精确值。对于非负矩阵，它运行更快，在维数约 100 时仅需几次迭代即可求出 JSR；计算 LSR 的算法也观察到同样现象。为展示新方法的效率，我们将其应用于解答组合数学、数论及形式语言理论中近期提出的若干猜想。