1+x+...+x^{2n} 最小值问题的精确与近似解

本文研究了多项式 $f_{2n}(x)=1+x+\cdots+x^{2n}$ 及其在实数轴上的极小值点 $x_{2n}=\operatorname{arg\,inf} f_{2n}(x)$（其中 $n\in\Bbb N$）。结果表明，对所有 $n$，$x_{2n}$ 存在且唯一，对应于 $\partial_x f_{2n}(x)=0$，并位于区间 $[-1,-1/2]$ 上。进一步表明，对所有 $n$ 有 $\inf f_{2n}(x)=(1+2n)/(1+2n(1-x_{2n}))$ 且 $\inf f_{2n}(x)\in[1/2,3/4]$，其中 $x_{2n}$ 的精确解以单位变元超几何函数的有限和形式给出。应用微扰理论生成对 $x_{2n}$ 快速收敛且渐近精确近似。通过数值研究说明了为获得对精确值足够准确的近似，需要取 $x_{2n}$ 微扰展开的多少项。