超图的欧拉性质

在本文中，我们研究了超图中的三种子结构，它们推广了图中欧拉游走的概念。超图的旗标遍历游走对应于其关联图的欧拉游走，因此具有欧拉游走的超图的完整刻画可由欧拉定理得出。欧拉游走是恰好遍历超图每条边一次的闭合游走；而欧拉族是无法被拼接且共同恰好遍历超图每条边一次的闭合游走的集合。Lonc 和 Naroski 已经证明，即使在一个非常受限的 3-一致超图子类上，欧拉游走的存在性问题也是 NP 完全的，而我们证明了在所有超图类上，欧拉族的存在性问题是多项式时间可解的。此外，我们考察了超图允许存在欧拉族（相应地，欧拉游走）的必要条件；我们表明，虽然这些必要条件对连通图是充分的，但对一般超图并不充分。另一方面，我们展示了一类新的超图，对这些超图而言这些必要条件也是充分的，推广了 Lonc 和 Naroski 的一个结果。我们根据超图的交集图，给出了具有欧拉族（相应地，欧拉游走）的超图的部分刻画，并根据关联图给出了完整（但不易验证）的刻画。对于具有欧拉族的超图，我们利用 Lovász 的一个定理给出了完整且可验证的刻画，然后证明了每个没有割边的 3-一致超图都允许存在欧拉族。最后，我们证明了超图允许存在欧拉族当且仅当它可以被分解为环，并展示了超图中的 2-因子与其对偶图的欧拉性质之间的关系。