可定义下水平集的欧拉示性数与同伦型及其在拓扑数据分析中的应用

给定可定义集 $S$ 上的可定义函数 $f: S \to \mathbb{R}$，我们研究形如 $S^f_t \coloneqq \{x \in S: f(x) \leq t\}$（对所有 $t \in \mathbb{R}$）的下水平集。利用 o-极小结构，我们证明了 $S^f_t$ 的欧拉示性数关于 $t$ 是右连续的。此外，当 $S$ 紧致时，我们证明对所有足够小的 $\delta > 0$，$S^f_{t+\delta}$ 可形变收缩到 $S^f_t$。应用这些结果，我们还刻画了拓扑数据分析中以下概念之间的联系：欧拉示性数变换（ECT）、光滑 ECT、欧拉-拉东变换（ERT）与光滑 ERT。