希尔伯特空间中的正则变性与功能型极值的主成分分析

受功能性数据日益可及的驱动，我们为 $L^2[0,1]$ 中正则变随机元 $X$ 的极值建立了一个通用的概率与统计框架。我们采用超阈值峰值（Peaks-Over-Threshold）框架，其中功能型极值定义为 $L^2$ 范数 $\|X\|$ 相对较大的观测 $X$。我们的目标是提出一种降维框架，为此类极值观测给出有限维投影。我们的贡献有两点。首先，我们研究了取值于一般可分希尔伯特空间的随机量的正则变性概念，并提出了一种仅涉及实值随机变量随机收敛的新颖具体刻画。其次，我们提出了一种功能型主成分分析（PCA）概念，以刻画功能型极值的主‘方向’。我们通过为上界有限样本量下极值函数角分量的经验协方差算子的估计误差的希尔伯特-施密特范数，研究了其统计性质。基于模拟与真实数据的数值实验说明了本工作。