多项式环的 étale 扩张是忠实平坦的

我们应用 Ohi 关于交换环扩张忠实平坦性的判别准则，证明任意 étale 扩张 $k[Y_1, \ldots, Y_n]\subseteq k[X_1, \ldots, X_n]$（每个均为含 $n$ 个不定元的多项式环，系数环为交换环 $k$）都是忠实平坦的。特别地，若 $k$ 是代数闭域，则任意 étale 多项式映射 $k^{n} \to k^{n}$ 是满射。