最短路径协方差矩阵的估计

我们研究了在给定独立样本的情况下，估计 $\mathbb{R}^d$ 上分布 $\mathcal D$ 的协方差矩阵 $\mathbf{\Sigma} \in \mathbb{R}^{d\times d}$ 的样本复杂度，假设 $\mathbf{\Sigma}$ 是图结构的。特别地，我们关注最短路径协方差矩阵，其中任意两次测量之间的协方差由具有 $d$ 个节点的底层图中最短路径距离决定。此类矩阵推广了 Toeplitz 和循环协方差矩阵，并广泛应用于信号处理应用中，其中两次测量之间的协方差取决于它们在时间或空间上的（最短路径）距离。我们致力于同时最小化向量样本复杂度（从 $\mathcal{D}$ 抽取的样本数）和条目样本复杂度（每个样本读取的条目数）。条目样本复杂度对应于信号处理应用中的测量设备成本。我们给出了一个非常简单的算法，仅使用 $O(\sqrt{D})$ 条目样本复杂度和 $\tilde O(r^2/\epsilon^2)$ 向量样本复杂度，即可将 $\mathbf{\Sigma}$ 估计到谱范数误差 $\epsilon \left\|\mathbf{\Sigma}\right\|_2$ 以内，其中 $D$ 是底层图的直径，$r \le d$ 是 $\mathbf{\Sigma}$ 的秩。我们的方法基于将广泛用于 Toeplitz 协方差估计的稀疏尺思想推广到图设置。在 $\mathbf{\Sigma}$ 为低秩 Toeplitz 矩阵的特殊情况下，我们的结果与最先进水平（SOTA）相匹配，且证明远为简单。我们还给出了一个信息论下界，与我们的上界相差至多因子 $D$，并讨论了缩小该差距的一些方向。