分形子码的纠错鲁棒性与三维码容量阈值的近饱和

分形子码作为新颖的拓扑物质态已被深入研究，但其容错特性在很大程度上仍未被探索。在此，我们研究了自对偶分形子码，特别是棋盘码，针对随机泡利噪声的最优阈值。通过利用统计力学映射结合大规模并行回火蒙特卡洛模拟，我们计算出棋盘码的最优码容量为 $p_{th} \simeq 0.107(3)$。该值在已知的三维码中最高，且几乎饱和了拓扑码的理论极限。我们的结果进一步验证了两个互对偶模型的广义熵关系 $H(p_{th}) + H(\tilde{p}_{th}) \approx 1$，并将其适用性扩展到标准拓扑码之外。这一验证表明 Haah 码也具有接近理论极限 $p_{th} \approx 0.11$ 的码容量。这些发现突显了分形子码作为高鲁棒性量子存储的潜力，并展示了二元技术在分析复杂量子纠错码中的实用性。