等变与不变 Reynolds 网络

不变与等变网络在学习具有对称性的数据（包括图像、集合、点云与图）时十分有用。在本文中，我们考虑针对有限群对称性的不变与等变网络。已有诸多研究者利用 Reynolds 算子构造了不变与等变网络。然而，当群的阶较大时，Reynolds 算子由于需要对整个群求和而计算代价高昂，这带来了实现上的困难。为克服该困难，我们考虑将 Reynolds 算子表示为对某个子集的求和，而非对整个群的求和。我们称这样的子集为 Reynolds 设计，将由对 Reynolds 设计的求和所定义的算子称为约化 Reynolds 算子。例如，对于具有 $n$ 个节点的图，约化 Reynolds 算子的计算复杂度降至 $O(n^2)$，而 Reynolds 算子的计算复杂度为 $O(n!)$。我们基于约化 Reynolds 算子构建称为等变与不变 Reynolds 网络（ReyNets）的学习模型，并证明它们具有通用逼近性质。等变 ReyNets 的 Reynolds 设计源于基于 Young 图的组合观察，而不变 ReyNets 的 Reynolds 设计则源于定义在不变多项式集合上的称为 Reynolds 维数的不变量。数值实验表明，我们模型的性能可与最先进的方法相媲美。