量子电路中代价集中与梯度消失的等价性：黎曼形式下的初等证明
量子物理
2024-09-12 v2
摘要
量子电路的优化可能会受到平均梯度幅值随系统尺寸增大而衰减的阻碍。当这种衰减呈指数形式时，被称为贫瘠高原（barren plateau）问题。考虑到显式的电路参数化（就旋转角度而言），Arrasmith 等人 [Quantum Sci. Technol. 7, 045015 (2022)] 已证明贫瘠高原等价于代价函数差方差的指数衰减。我们表明，在此类优化问题的（无参数化）黎曼形式中，该问题特别简单，并获得了代价函数方差更紧的界。初等推导表明，代价函数的单门方差严格等于黎曼单门梯度方差的一半，其中我们根据均匀 Haar 测度对可变门进行采样。代价函数及其梯度的总方差均受单门方差之和的上界限制，反之亦然，单门方差也受总方差的上界限制。因此，梯度的衰减与代价函数的变化相伴而生，贫瘠高原问题无法通过避免基于梯度的方法而转向无梯度优化方法来解决。
引用
@article{arxiv.2402.07883,
title = {Equivalence of cost concentration and gradient vanishing for quantum circuits: An elementary proof in the Riemannian formulation},
author = {Qiang Miao and Thomas Barthel},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.07883},
year = {2024}
}
备注
8 pages main text, 4 pages appendix, 6 figures; improved presentation, added numerical confirmation for MERA, extended discussion section, demonstrating that single-gate gradient variances can provide more detailed and useful trainability information than total variances alone; published version