脊函数类的熵与采样数

我们从逼近论的角度研究高维 $d$ 空间中脊函数 $f(x)=g(a\cdot x)$ 的性质。所考虑的函数类由脊函数组成，其轮廓 $g$ 属于光滑度为 $\alpha > 0$（包括无限光滑度）的单变量 Lipschitz 类，且脊方向 $a$ 的 $p$-范数满足 $\|a\|_p \leq 1$。首先，我们研究熵数以量化这些脊函数类在 $L_{\infty}$ 中的紧性。我们表明，它们的紧性本质上与单变量 Lipschitz 函数类相当。其次，我们考察采样数并面临两种极端情况。当 $p=2$ 时，在欧几里得单位球上对脊函数进行采样面临维数灾难。因此，其难度与对一般多变量 Lipschitz 函数进行采样相当，这一结果与关于熵数的结果形成鲜明对比。当我们额外假设所有可行轮廓在原点处的一阶导数一致有下界（远离零）时，脊函数采样的复杂性会急剧降低至单变量 Lipschitz 函数采样的复杂性。介于两者之间时，采样问题的难度程度随 $\alpha$ 和 $p$ 的值而变化。令人惊讶的是，我们几乎看到了 Novak 和 Wo\'zniakowski 近期专著中引入的整个可处理性层级。