高阶曲率局域引力中的能量-动量复型

在广义相对论中，已有许多定义引力能量密度的提议，著名的有 Einstein、Tolman、Landau 与 Lifshitz、Papapetrou、M{\o}ller 和 Weinberg 所提出的。在本综述中，我们首先探讨了 $n$ 阶引力拉格朗日量 $L=L\left(g_{\mu\nu}, g_{\mu\nu,i_{1}}, g_{\mu\nu,i_{1}i_{2}},g_{\mu\nu,i_{1}i_{2}i_{3}},\cdots, g_{\mu\nu,i_{1}i_{2}i_{3}\cdots i_{n}}\right)$ 中的能量-动量复型，然后是引力拉格朗日量 \mbox{$L_{g}=(\overline{R}+a_{0}R^{2}+\sum_{k=1}^{p} a_{k}R\Box^{k}R)\sqrt{-g}$} 中的能量-动量复型。其引力部分由引力作用量在无穷小刚性平移下的不变性通过 Noether 定理得到。我们还表明该张量一般不是协变对象而只是仿射对象，即伪张量。因此，若限于广义相对论，伪张量 $\tau^{\eta}_{\alpha}$ 即化为 Einstein 所引入者，其扩展修正已被明确给出。同样的方法被用于推导 $f\left (R \right)$ 引力中 Palatini 与度规途径下的能量-动量复型。此外，在弱场近似下计算了伪张量 $\tau^{\eta}_{\alpha}$ 在度规扰动 $h$ 中的最低阶。作为实际应用，通过伪张量在合适时空域上的平均值及伪张量的局域守恒，在合适规范下得到了局域源在固定波数 $\mathbf{k}$ 下沿方向 $\hat{x}$ 发射的单位立体角 $\Omega$ 的引力波功率。作为宇宙学应用，在平坦 Friedmann--Lema\^itre--Robertson--Walker 时空中，给出了 Palatini 与度规形式下 $f(R)$ 引力中的引力与物质能量密度。