图的 $\ell^1$-余谱性

以下问题已在 [Research problems from the Aveiro workshop on graph spectra, {\em Linear Algebra and its Applications}, {\bf 423} (2007) 172-181.] 中提出：\ (问题 AWGS.4) 设 $G_n$ 和 $G'_n$ 为 $n$ 个顶点上的两个非同构图，其谱分别为 $$\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_n \;\;\;\text{和}\;\;\; \lambda'_1 \geq \lambda'_2 \geq \cdots \geq \lambda'_n.$$ 定义 $G_n$ 与 $G'_n$ 谱之间的距离为 $$\lambda(G_n,G'_n) =\sum_{i=1}^n (\lambda_i-\lambda'_i)^2 \;\;\; \big(\text{或采用}\; \sum_{i=1}^n|\lambda_i-\lambda'_i|\big).$$ %设 $\epsilon$ 为一个非负数。若 $\lambda(G_n,G'_n)\leq \epsilon$，则图 $G_n$ 与 $G'_n$ 称为 $\epsilon$-余谱的。因此，$G_n$ %与 $G'_n$ 为 $0$-余谱的当且仅当 $G_n$ 与 $G'_n$ 为余谱的。用下式定义 $G_n$ 的余谱性： $$\text{cs}(G_n) = \min\{\lambda(G_n,G'_n) \;:\; G'_n \;\;\text{不与}\; G_n\;\text{同构}\}.$$ %因此 $\text{cs}(G_n) = 0$ 当且仅当 $G_n$ 有一个余谱伴侣。 %该函数度量了具有 $n$ 个顶点的图的谱与 %任何其它具有 $n$ 个顶点的图的谱之间可能相距多远。\ {\bf 问题 A.} 对特殊图类研究 $\text{cs}(G_n)$。本文中，针对 $\ell^1$-范数，即 $\sigma(G_n,G'_n)=\sum_{i=1}^n|\lambda_i-\lambda'_i|$，我们研究某些图的问题 A。我们求得了 $\text{cs}(K_n)$、$\text{cs}(nK_1)$、$\text{cs}(K_2+(n-2)K_1)$（$n\geq 2$）、$\text{cs}(K_{n,n})$ 以及 $\text{cs}(K_{n,n+1})$，其中 $K_n, nK_1, K_2+(n-2)K_1, K_{n,m}$ 分别表示 $n$ 个顶点上的完全图、$n$ 个顶点上的零图、$K_2$ 与 $n-2$ 个孤立顶点的不交并（$n\geq 2$），以及两部大小分别为 $n$ 和 $m$ 的完全二部图。