二部图的特征值交错及基于二部图顶点分裂的扩张码构造

图的第二大特征值是一个重要的代数参数，它与图的扩张性、连通性和随机性相关。扩张图是高度连通的稀疏图。在编码理论中，扩张码是由二部扩张图构成的差错纠正码。本文首先证明了二部图邻接矩阵的特征值与该图相应图矩阵的二部商矩阵的特征值之间的交错关系，然后给出了第二大特征值与第二小特征值的界。由于该图是二部图，关于拉普拉斯矩阵的结果对无符号拉普拉斯矩阵同样成立。接着我们引入一种称为二部图顶点分裂的新方法，以构造扩张因子为 $\frac{D}{2}<\alpha < D$ 且 $\epsilon<\frac{1}{2}$ 的渐近好扩张码，并证明了二部图顶点分裂关于 $\lambda_{2}$ 为 $k-$连通的一个条件。进一步，我们证明了 $G$ 的顶点分裂是一个二部扩张图。最后，我们构造了一个因子图为由二部图顶点分裂所得图的渐近好扩张码。