整多面体的 Ehrhart 等价、等分解与单模等价

Ehrhart 多项式是被广泛研究的结构,用于插值整 $n$-多面体膨胀后的离散体积。然而,Ehrhart 多项式的系数仍未被完全理解,且两个多面体何时具有等价 Ehrhart 多项式尚属未知。本文中,我们建立了 Ehrhart 等价与另外两种等价形式之间的关系:$\mathbb{R}^n$ 中两个整 $n$-多面体的 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$-等分解与单模等价。我们猜想任意两个 Ehrhart 等价的整 $n$-多面体 $P,Q\subset\mathbb{R}^n$ 可 $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$-等分解为 $\frac{1}{(n-1)!}$ 阶单模单形,从而推广了已知的 $n=1, 2, 3$ 情形。我们还创建了检验 $\mathbb{R}^n$ 中任意两个整 $n$-单形单模等价的算法。进而发现并证明了整 $2$-单形的单模等价与其 $n$ 维棱锥的单模等价之间的新的一一对应。最后,我们证明了对所有 $n \ge 2$,$\mathbb{R}^n$ 中存在非单模等价的整 $n$-单形。